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日志

 
 

有关三角形面积的数学文化  

2010-10-07 14:47:20|  分类: 课程资源 |  标签: |举报 |字号 订阅

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刘徽介绍:他是山东人是中国古代杰出的数学家,也是中国古典数学理论的奠基者之一.世界十大数学家之一。被称作“中国数学史上的牛顿”。他的主要著作有:《九章算术注》10卷;《重差》1卷,至唐代易名为《海岛算经》;《九章重差图》l卷,可惜后两种都在宋代失传。
 刘徽的数学成就大致为两方面:
 一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系:
 在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算,以及繁分数化简等的运算法则;在开方术的注释中,他从开方不尽的意义出发,论述了无理方根的存在,并引进了新数,创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义,又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础,建立了数与式运算的统一的理论基础,他还用来定义中国古代数学中的方程,即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理,建立了相似勾股形理论,发展了勾股测量术,通过对勾中容横股中容直之类的典型图形的论析,形成了中国特色的相似理论。
在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及割圆术的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见:
 割圆术与圆周率
他在《九章算术?圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆,每次边数倍增,算到192边形的面积,得到π=157/50=3.14,又算到3072边形的面积,得到π=3927/1250=3.1416,称为徽率
刘徽原理
在《九章算术?阳马术》注中,他在用无限分割的方法解决锥体体积时,提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
牟合方盖
在《九章算术*开立圆术》注中,他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性,并引入了牟合方盖这一著名的几何模型。牟合方盖是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
方程新术
在《九章算术?方程术》注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用了比率算法的思想。
重差术
在白撰《海岛算经》中,他提出了重差术,采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用类推衍化的方法,使重差术由两次测望,发展为三望四望。而印度在7世纪,欧洲在1516世纪才开始研究两次测望的问题。
   据《隋书·律历志》称:“魏陈留王景元四年(263)刘徽注《九章》”。他在长期精心研究《九章算术》的基础上,采用高理论,精计算,潜心为《九章》撰写注解文字。他的注解内容详细、丰富,并纠正了原书流传下来的一些错误,更有大量新颖见解,创造了许多数学原理并严加证明,然后应用于各种算法之中,成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。如他说:“徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注”。又说:“析理以辞,解体用图。庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。”他除为《九章》作注外,还撰写过《重差》一卷,唐代改称为《海岛算经》。他的主要贡献在于创造了割圆术,运用极限观念计算圆面积和圆周率;创造十进分数、小单位数及求微数思想;定义许多重要数学概念,强调“率”的作用;运用直角三角形性质建立并推.广重差术,形成特有的准确测量方法;提出“刘徽原理”,形成直线型立体体积算法的理论体系,在例证方面,他采用模型、图形、例题来论证或推广有关算法,加强说服力和应用性,形成中国传统数学风格;他采用严肃、认真、客观的精神,差别粗糙、错误的论述,创造精细、有逻辑的观点,以理服人,为后世学人树立良好的学风;在等差、等比级数方面也有一些涉及和创意。经他注释的《九章算术》影响、支配中国古代数学的发展1000余年,是东方数学的典范之一,与希腊欧几里得(约前330-275)的《原本》所代表的古代西方数学交相辉映。 


  刘徽从事数学研究时,中国创造的十进位记数法和计算工具“算筹”已经使用一千多年了。在世界各种各样的记数法中,十进位记数法是最先进、最方便的。中国古代数学知识的结晶“九章算术”也成书三百多年了。“九章算术”反映的是中国先民在生产劳动、丈量土地和测量容积等实践活动中所创造的数学知识,包括方田、粟米、哀分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,是中国古代算法的基础,它含有上百个计算公式和246个应用问题,有完整的分数四则运算法则,比例和比例分配算法,若干面积、体积公式,开平方、开立方程序,方程术--线性方程组解法,正负数加减法则,解勾股形公式和简单的测望问题算法。其中许多成就处于世界领先地位。公元元年前年,盛极一时的古希腊数学走向衰微,“九章算术”的出现,标志着世界数学研究中心从地中海沿岸转到了中国,开创了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。在编排上,“九章算术”或者先提出术文(命题),后列出几个例题,或者先列出一个或几个例题,后提出术文。然而它对所用的概念没有定义,对所有的术文没作任何推导证明,个别的公式尚有不精确或失误之处。东汉以后的许多学者都研究过“九章算术”,但理论建树不大。刘徽著作的“九章算术注”,主要是给“九章算术”的术文作解释和逻辑证明,更正其中的个别错误公式,使后人在知其然的同时又知其所以然。有了刘徽的注释,“九章算术”才得以成为一部完美的古代数学教科书。 

  在“九章算术注”中,刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目,用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式。为了证明园面积公式和计算园周率,刘徽创立了割园术。在这徽之前人们曾试图证明它,但是不严格。刘徽提出了基于极限思想的割园术,严谨地证明了园面积公式。他还用无穷小分割的思想证明了一些锥体体积公式。在计算园周率时,刘徽应用割园术,从园内接正六边形出发,依次计算出园内接正12边形、正24边形、正48边形,直到园内接正192边形的面积,然后使用现在称之为的“外推法”,得到了园周率的近似值3.14,纠正了前人“周三径一”的说法。“外推法”是现代近似计算技术的一个重要方法,刘徽遥遥领先于西方发现了“外推法”。刘徽的割园术是求园周率的正确方法,它奠定了中国园周率计算长期在世界上领先的基础。据说,祖冲之就是用刘徽的方法将园周率的有效数字精确到7位。在割园过程中,要反复用到勾股定理和开平方。为了开平方,刘徽提出了求“微数”的思想,这与现今无理根的十进小数近似值完全相同。求微数保证了计算园周率的精确性。同时,刘徽的微数也开创了十进小数的先河。 

  刘徽治学态度严肃,为后世树立了楷模。在求园面积公式时,在当时计算工具很简陋的情况下,他开方即达12位有效数字。他在注释“方程”章节18题时,共用1500余字,反复消元运算达124次,无一差错,答案正确无误,即使作为今天大学代数课答卷亦无逊色。刘徽注“九章算术”时年仅30岁左右。北宋大观三年(1109)刘徽被封为淄乡男。 

 

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